실력정석 수2연습문제 6-7입니다. 답지봐도 모르겠네요..

일단 문제 푸실분은 밑으로 내리지 마시고 풀어보세요.
1달전부터 실력정석 보고있다가 답지봐도 모르겠다는 문제는 첨보네요..


a1 > a2 > a3 > ... > an 일때, 다음 방정식의 실근의 개수를 구하여라.


1 / ( x - a1 ) + 1 / ( x - a2 ) + 1 / ( x - a3) .......... + 1 / ( x - an ) = 0







여기까지가 문제이고 밑에는 답이 있으니 보실분은 보세요.


























제가 답내린 방식은 이렇습니다.


a1 > a2 > a3 > ... > an


f(a1), f(a2) 등은 분모를 0 으로 만들기 때문에 정의 되지 않습니다.

자 그래서 a1과 a2 사이에 있는 어떤 임의의 C값을 잡아서 보겠습니다.

C가 a1-0 에 가까워지면, f(x)는 무한소,
C가 a2+0 에 가까워지면, f(x)는 무한대,

이렇게 해서 a1과 a2 사이에는 연속이라 근이 최소한 1개 생긴다.

같은 방법으로 매 구간마다 최소한 근이 1개 생긴다.

x가 an 보다 작은값을 넣는경우 f(x)는 항상 음수이므로 근이 없다.
x를 a1보다 큰 값을 넣는경우 f(x) 는 항상 양수이므로 근이 없다.

그러나 f(x)는 전개를 하였을시 분자가 n-1차 방정식이 된다.

그래서 근은 n-1개 라고 결론을 내렸습니다. 사실 이건 방금 글쓰면서 생각나서 쓴 풀이 입니다;




질문 1번. 제 풀이에는 혹시 틀린점이 있나요??





f(x)= ∑ 1/ x-ak 로 놓으면
g(x) = (x-a1)(x-a2)(x-a3)...(x-an)f(x) 는 n-1차 다항식이다.

g(a1) = (a1-a2)(a1-a3).... (a1-an) >0
g(a2) = (a2-a1)(a2-a3).... (a2-an) <0
g(a3) >0
g(a4) <0

양과음이 이렇게 번갈아 일어나므로

최소한 g(x)는 n-1개의 근이 생긴다.

그런데 g(x)는 n-1차 방정식이므로 실근은 n-1를 초과해서 가질수 없다. 따라서

f(x) = 0의 실근의 개수는 n-1개 이다.


제가 모르는 부분은 여기입니다.


질문 2번.

g(x) = (x-a1)(x-a2)(x-a3)...(x-an)f(x) 라고 하였는데

g(1) 이 왜 (a1-a2)(a1-a3).... (a1-an) 이 되는가 입니다. 저도 비슷한 방법을 생각해보았으나 밑에 처럼 전개되어서 포기했더랫죠..

f(x)를 직접 넣어봐도 항이 무수히 많이 나오고 저렇게 하나의 항으로 나오지 않고 항이 여러개가 나오네요.

또한 문제가 f(a1), f(a2)등은 분모를 0으로 만들어서 정의되지 않는데...


일일이 전개하면 제생각엔 이렇게 될거같은데 말이죠 ...

g(x) ={ (x-a2)(x-a3)(x-a4)...(x-an)} +{ (x-a1)(x-a3)(x-a4)...(x-an) }+ {(x-a1)(x-a2)(x-a4)...(x-an)} .... + { (x-a1)(x-a2)(x-a3)...(x-an-1) }

여기서 g(a1)는 n이 짝수냐 홀수냐에 따라 음 + 양 + 음 + 양 + 음.. 또는 양 + 음 + 양 +음 ... 이 번갈아 가는 합 모양이라서 양인지 음인지 확실치 않아 포기했습니다.

이거 어떻게 풀어야하나요?

뭔가 될듯 하면서도 안되고... 내일 아침에 보면 될것도 같은데 정말 궁금해서 잠도안오네요