미분의 심화개념 질문요
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나간다
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아래 게시글에도 있었던 것 같은데,
f(x)=x^2sin(1/x) (x≠0), f(0)=0으로 정의된 함수는,
x=0에서의 미분계수 f'(0)은 0으로 존재하지만,
x=0 근방에서 진동하는 불연속함수기 때문에 극한값이 존재하지 않아요.
따라서 좌변인 우미분계수(=좌미분계수)는 미분계수의 정의에 의해 구해보면 0이지만,
우변인 도함수의 우극한값은 존재하지 않는답니다.
질문에 답변드리자면,
미분가능이 전제된 상태에서 그 점에서의 미분값을 미분계수라고 합니다.
하지만, 도함수의 연속성과 미분가능성은 별개의 문제로,
좌미분계수(=도함수의 좌극한값)와 우미분계수(=도함수의 우극한값)가 일치하지 않더라도
미분계수(=도함수의 함수값,미분값)는 존재할 수 있습니다.
아기나라님에게 태클을 걸자면, 미분계수와 도함수의 극한값은 다른 개념입니다. f(x+h)-f(x)/h 라는 식에서 h가 0+0 으로 가면 우미분계수이고 h가 0-0 으로 가면 좌미분계수입니다.
제 글을 잘못 읽으신 것 같은데 저는 미분계수와 도함수의 극한값이 같은 개념이라고 한 적이 없습니다.
2번째 댓글에서 좌미분계수(=도함수의 좌극한값)이라고 하신부분에서 = 의 표현때문에 제가 자의적으로 해석한것 같습니다. 하지만 = 자체를 쓸수 없는 개념들입니다.
예를들어 f(x) = x (x <= 1), x+1 ( > 1 ) 이라고 정의하면 x=1에서 좌미분계수는 1이지만 우미분계수는 무한대입니다. 이때 좌미분계수와 우미분계수가 같지않아 미분 불가능한 케이스고요, 도함수의 좌극한값 우극한값은 둘다 1로 같죠.
예를 들어준 함수 f(x)는 x=1에서 좌미분계수,우미분계수가 모두 1입니다.
미분하기 이전에 함수가 연속이지 않아 미분가능성을 논할 수 없는 케이스겠네요
아기나라님께서 오개념을 가지고 계신데 우미분계수는 무한대입니다. 도함수의 우극한이 1입니다.
쪽지 보냈습니다. 답장 부탁드립니다.
도함수의 극한값이 1이되는 것은 미분하면되는것이니 알겠습니다만 미분계수는 어떤식으로 구하는거죠? 평균변화율의 극한이 순간변화율이되서 미분계수이니 평균변화율의 극한값으로 계산하면 0/1 이 나와서 우미분계수가 무한대다 맞아요?
결국 중요한건 미분계수는 불연속이어도 정의가능하다? 인건가요
미분계수는 lim x->a f(x)-f(a) / x - a 혹 lim h -> 0 f(a+h) - f(a) / h 의 극한값입니다.
이게 미분계수의 정의이고, 이 극한값이 존재하면 미분가능한겁니다.
불연속이면 저 미분계수는 존재하지 않아요. 정의를 못하는 거죠. 따라서 미분 불가능한겁니다.
그러면 예를 들어주신 우미분계수가 무한대고 좌미분계수는1이라는것은 무슨의미시죠?
좌 미분계수는 lim h -> 0-0 f(a+h) - f(a) / h , 우 미분계수는 lim h -> 0+0 f(a+h) - f(a) / h
미분계수는 lim h -> 0 f(a+h) - f(a) / h (좌 미분계수와 우 미분계수가 존재하고 그 두 값이 같을 때)
이 3개의 차이를 잘 생각해보셔요.
그리고 제가 예로 든 함수에 적용해보시고 미분가능의 정의를 제가 위에서 언급한 사실에 따라 생각해보셔요.
저 명제에 대한 반례를 제가 예로 든 함수로 들 수 있겟네요. 그리고 좌미분계수, 우미분계수는 교과과정에 나오지 않는 용어입니다.
그러면 미분계수 용어의 성립자체는 불연속이어도 상관이 없다는 뜻인가요? 단순히 미분가능성을 정의 할 때만 좌우의 미분계수가 같아야하는건가요?
네 맞습니다. 좌우 미분계수가 같으면 미분계수가 존재하는 것이고 이게 미분 가능하단거죠. 좌우 미분계수가 다르거나 존재하지 않으면 미분 불가능한겁니다.
반례 f(x)=lx-al 라고하면 안되나요? 알텍에서 도함수 만들때 그 함수가 x=a에서 미분가능해야지 뭘 만들던지 말던지 한다고 빡선생님께서 그러시던데
f(x)=|x-a|라고 한다면, 글쓴이가 질문한 내용에서 좌변은 1, 우변도 1로 식이 성립하게 되어 반례가 되지 않습니다.
그니까 도함수가 불연속일수있으니까 거짓인거죠??