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책참 [1020565] · MS 2020 (수정됨) · 쪽지

2023-10-11 23:23:16
조회수 3,574

항등식의 양변 적분

게시글 주소: https://snu.orbi.kr/00064702957

며칠 전에 어떤 분께서 항등식의 양변 적분 문항을 유심히 지켜보라 남기셨던 글이 떠올라서




2015학년도 9월 B형 30번, (나) 조건을 통해 다음과 같이 관계식 정리해주고



구간 [1, t]에 대한 정적분을 양변에 걸어주면 깔끔하게 정리 가능했습니다.



2019학년도 6월 가형 30번, 주어진 항등식을 1509B30과 같은 방식으로 이해해주고 (양변에 구간 [0, x] 에서의 정적분 걸어주기)



f와 g의 관계에 초점을 두어주면 답을 낼 수 있었습니다.




1509B30과 1906가30 모두 양변을 적당한 구간에서 적분해주면 간단하게 정리 가능했지만, 이 생각을 현장에서 쉽게 떠올릴 수 있었을 것이라 생각하진 않습니다.


따라서 만약 현장이었다면 g(x+1)-g(x) 꼴의 상황에 초점을 두어 각 구간 별로, 예를 들어 [1, 2] [2, 3] [3, 4] ... , 이런 식으로 일일이 확인을 해보다가 정적분의 성질에 의해


\int_a^b f(x)dx + \int_b^c f(x)dx = \int_a^c f(x)dx (f(x)는 연속함수이고 a, b, c는 임의의 실수)


답을 내는 것이 현실적이고도 이상적이었지 않았을까 하는 생각이 듭니다.



2019학년도 수능 가형 21번, (가) 조건 양변 부정적분해주고




x와 x+1의 관계에 초점을 두어주면...




그리고 x=-1/8 대입하면 3/4에서의 정보, x=3/4 대입하면 5/2에서의 정보, x=5/2 대입하면 6에서의 정보가 나온다.


-1/8 --> 3/4 --> 5/2 --> 6


이런 느낌이다. f(-1/8), f(3/4), f(5/2), f(6) 네 가지 미지수에 대해 관계식 3개가 있는 셈이니 하나만 더 알면 되는데...


(나) 조건 적용하면 하나 채워지고 하나 더 넣으면 C 값 결정 가능하니




f(-1)값도 구할 수 있다!




2020학년도 9월 가형 30번, 우변은 상수 덩어리와 적분 가능한 함수들이고 좌변은 답이 없는 f'(x)에 답이 없는 이차함수가 합성되어 있다.




f(7)의 값을 구해야하는데 주어진 항등식에 x를 아무리 대입해봐도 답이 없어 보이므로


양변을 적분하여 직접 f를 구해보기 위해... 치환적분을 목적으로 양변에 2x+1을 곱해보자. 정확히는 (x^2+x+1)'




우변도 모두 적분 가능하므로 f(1), f(3) 이용하기 위해 x=0, x=1, x=-1 정도 대입해보면 상황 정리 가능하다.




이렇다 할 예측은 아니지만 항등식의 양변 적분은.. 제가 고등학교 3학년 때 한성은 선생님께 수능 수학 배웠을 때부터 수능 수학의 주요 소재 중 하나였기 때문에 기억해두셔서 나쁠 것 없다고 생각합니다~~ 

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