2024학년도 수능 수학 22번을 풀어봅시다.
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박스 안의 조건은 제쳐두고, 일단 삼차함수 식을 세웁시다.
이제 박스 안의 조건을 볼 건데, 정수 k에 대하여 f(k-1)f(k+1)이 항상 0보다 큰 값을 가져야 합니다.
방정식 f(x)=0의 실근이 하나이면, f(k-1)f(k+1)<0인 정수 k의 값이 항상 존재하므로 조건에 맞지 않습니다.
또한 f'(-1/4)<0, f'(1/4)<0인 걸로 보아 f'(0)<0이 확정입니다. x=0에서 함수 f(x)가 감소해야 하고, 방정식 f(x)=0의 서로 다른 실근의 개수가 2 이상이어야 합니다.
방정식 f(x)=0의 서로 다른 실근의 개수가 2인 경우, 두 실근이 모두 정수이고 차가 1이어야 합니다. 그런데 f'(0)<0이면 주어진 조건을 만족시키는 삼차함수가 존재하지 않게 됩니다.
즉, 방정식 f(x)=0의 서로 다른 실근의 개수는 3입니다.
일단 x=0을 하나의 근으로 갖는다고 가정합시다. 그러면 c=0이 나옵니다.
이때, 다음과 같은 2가지 경우가 가능합니다.
(1) x=-1, x=0이 두 근이고, 나머지 한 근은 0과 1 사이의 값인 경우
(2) x=0, x=1이 두 근이고, 나머지 한 근은 -1과 0 사이의 값인 경우
(1)의 경우를 먼저 봅시다.
f'(1/4)<0이라는 조건에 맞지 않습니다.
(2)의 경우를 보겠습니다.
이 함수는 f'(1/4)<0이라는 조건을 만족합니다.
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