다항함수의 미분계수의 역수의 합 (feat. 240728)
게시글 주소: https://snu.orbi.kr/00069099108
안녕하세요. 오르비에 글을 처음 써 봅니다.
어제 OnlineMathContest에서 열린 OMCB020에 참가했습니다. G번 문제 해설을 봤는데 처음 보는 공식이 나와서 공유하고자 이 글을 씁니다.
G번 문제는 다음과 같습니다.
구글 번역기로 번역해보면 다음과 같습니다.
실수 계수 3차 다항식 f(x)에 대하여 방정식 f(x)=0은 서로 다른 3개의 실수 해 p, q, r을 가지며 x=p, q에서 f(x)의 미분계수는 각각 9, -7이었습니다. 이때 x=r에서 f(x)의 미분계수를 구하십시오. 그러나 원하는 값은 서로소인 양의 정수입니다. a, b를 사용하여 a/b로 표현할 수 있으므로 a+b를 해답하십시오.
수능 문제 형태로 다시 써보면 다음과 같습니다.
삼차함수 f(x)에 대하여 방정식 f(x)=0은 서로 다른 3개의 실근 p, q, r을 가지며 f'(p)=9, f'(q)=-7이다. f'(r)=a/b일 때, a+b의 값을 구하시오. (단, a와 b는 서로소인 자연수이다.)
해설을 보면 별해가 있는데 다음과 같습니다.
0이 아닌 실수 c를 사용하여 
로 나타낼 수 있다. 이때 x=p,q,r의 미분계수는
이다. 일반적으로 서로 다른 복소수 a,b,c에 대한 항등식
이 성립한다(통분함으로써 용이하게 확인할 수 있다). 따라서
그리고, 여기에서 
이다. 일반적으로 중근이 없는 2차 이상의 다항식 근에서 미분계수의 역수의 합은 0이다.
검색해 봤더니 나무위키에 역수의 합에 관한 내용이 있었습니다. 공식은 다음과 같습니다.
n≥2이고 xi<xi+1(i=1,2,3,...,n-1)인 n차 다항함수
에 대하여 다음이 성립한다.
증명은 여기를 눌러서 보세요.
예제를 직접 만들어 봤습니다.
예제1) 5차함수 f(x)와 서로 다른 실수 a,b,c,d,e에 대하여 f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=f(e)=0이고, f'(a)=f'(e)=-6, f'(b)=f'(d)=24이다. f'(c)의 값을 구하시오.
풀이
예제2) 삼차함수 f(x)와 일차함수 g(x)=2x-1이 서로 다른 세 점 (a,f(a)), (b,f(b), (c,f(c))에서 만나고, f'(a)=5, f'(b)=0일 때, f'(c)의 값을 구하시오.
풀이
함수 h(x)를 h(x)=f(x)-g(x)라 합시다. h'(x)=f'(x)-g'(x)=f'(x)-2입니다. 방정식 h(x)=0은 서로 다른 세 근 a,b,c를 가지므로
입니다. 계산하면
입니다.
기출문제에 적용해서 풀어봅시다.
2024학년도 고3 7월 미적분 28번
(가) 조건에 의하여 g(0)=0=f(0), (나) 조건에 의하여 g(k)=k=f(k), g'(k)=1/3, f'(k)=3입니다. f(x)의 역함수가 존재하므로 f(x)는 증가함수입니다. f(x)의 그래프를 다음과 같이 그릴 수 있습니다.
p(x)=f(x)-x라 하면, p'(x)=f'(x)-1이고, p'(k)=f'(k)-1=2입니다. f'(x)≥0이므로 p'(x)≥-1입니다. 방정식 p(x)=0은 서로 다른 세 실근 0,b,k를 가지므로
입니다. p'(0)에 대하여 풀어주면
입니다. p'(b)=-1일 때, p'(0)은 최댓값 2를 갖습니다. 따라서 f'(b)=0일 때, f'(0)은 최댓값 3을 갖습니다.
f'(0)의 값이 최대일 때, f'(0)=f'(α)=3이므로 f(x)는 점 (α/2, f(α/2))에 대하여 점대칭입니다. b=α/2이므로 f'(α/2)=0입니다. 그래프를 다시 그려보면 다음과 같습니다.
f'(x)=3x(x-α)+3이고, 
이므로 α=2입니다.
α=2를 대입하면 f'(x)=3(x-1)2이고, f(x)=(x-1)3+1입니다. f(3)=9, g(9)=3이므로
따라서
입니다.
2024/09/08 예제1에서 f(d)->f'(d)로 오타 수정했습니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
의대 0
1차 합격이지만 기분이 좋다 이거야
-
너무 최근인가? ㅋㅋ
-
지1 질문 0
이거 ㄷ 선지 왜 맞나요 .. 제발 알려주세요 ….
-
제곧내
-
수시파 였던것이라 그런지 정시 관련 유물이 없다
-
-
기출은 어느정도 풀리는데 (그래도 40점대는 나옴..24수능 23수능빼면) 실모...
-
물론 나는 해당 안됨;
-
곧 부모님 결혼기념일이라서 선물 드리려고 하는데 머가 좋을까요 인터넷에서 찾아보면...
-
요즘 삶의 낙 5
슈카월드 들으면서 샤워하기 슈카형 같은 사람한테 장가 가고 싶어요
-
아니오, 제가 원하는 지문이 아닙니다 그렇다면, 논리학이 너가 원하는 지문이냐?...
-
답만 적도주셔도 되는데 ㅜㅜㅜ
-
11덮 0
화작 93 확통 70 (찍맞2개..) 영어 74 한지 42 세지 50 인데 수능때...
-
뭔가 어디서 본 것 같은 기시감이 느껴짐 그래서 찾아보니까 전년도 킬캠 현강때...
-
1. 강남대성 정수환T : 예전에 오르비에 인강을 하셨다던데? - 학사를 숨기거나...
-
진짜 완전 쉽게 나오면 40점대 초중반 받고 일반적인 난이도면 30점대 초중반...
-
이감 파이널 9회차랑 10회차 중에 더 어렵거나 배울게 많은 회차부투표부탁드립니다
-
빠른편임 충전이
-
독서의 경우 쓸데없이 과한 추론폭탄 내놓고 이것도 견뎌야 한다는게 좀... 평가원은...
-
요즘 드릴 왤케 많음 11
드릴 1 2 3 4 5 라떼는 그냥 드릴 하나였는데
-
작수 28처럼 내면 점심에 저승런하고말거야
-
이해원 4-1 풀었는데, 실수만 아니면 96점 나오는 거라 너무 화가 남.. 거기다...
-
90분 컷 100점 30번 2506 재탕 22번 22수능 재탕 공통 15번, 21번...
-
찾아보니까 흥미로운 인물같은데 기회 되면 얘기 한 번 해보고 싶군요
-
드릴 풀어서 3분의 2정도 맞추면 내수준에 맞는건가 1
22번급 30번급은 강의듣고 아이디어만 얻어가야지
-
개념 모르면 틀리게 만드는 경우도 있나요? 마지막으로 n제 풀면서 정리하려고 하는데...
-
???:불가능하다고?? 이봐 해보기는 해봤어? …. 그.. 어떻게 하죠
-
추론 및 정보처리 하는 능력은 올랐으나 뇌를 너무 많이 활용하여 체력 및 정신이...
-
탐구 ebs연계 0
과탐러인데 수능에서 과탐연계 많나요 작년에 6,9평은 그래도 비슷한 자료라던가...
-
8개짜리 초콜릿박스가 있는데 어제 d-7에 맞춰서 1개먹고 오늘 한개 또 먹어서...
-
평가원이 만든 문제라고 속이면 “역시 평가원 문제 잘 만들어!” 이럴거 같음...
-
6-9 6-10 둘다 한다는데 둘다 품?
-
국어 연계 0
뭐가나음요 수완하나도안함지금
-
약간 어그로성이긴 한데 지문 봤을 때 글 소재가 제 관심분야인 3점 문제가 관심분야...
-
찍기 안함 막페 세개 못풀고 1번 틀림 홈스가 맨틀 대류 원동력 발견못해서 맨들...
-
뉴비입니다 38
피곤한 하루네요
-
죽음으로 졸리네... 숙제 한참 남았는데 걍 ㄹㅈㄷ죽싶
-
대성 공홈엔 없는 것 같던데
-
83~96이면 진동폭이 너무 심한데 또 주사위 굴려야 되나
-
무슨 짓을 해도 잔실수가 너무 많네
-
정법ox 0
법관이 관습법을 적용하여 피고인에게 불리한 판결을 내릴 수 없도록하여 법적 안정성을...
-
ebs 만점마무리 봉투 (작수 99%인데 ) 이거 맞음? 0
작수 언매 91점 백분위 99% 였는데 만점 마무리 봉투모고 82점 나온다. 시즌...
-
빠릿빠릿하게 케이스분류를 못하겠음 요새… 국어풀때지문정보량많으면걍던지고싶음
-
ㅅㅂ 14번 왜틀린거지
-
되고싶다
-
ㅈㄱㄴ
-
몬스터두캔클리어 8
오늘수업끝 수학복습하고과제하고물리실험한거정리해둘생각인데 몬스터하나더까야하나 9시까지될려나
-
스태틱 12
의 단검(sweet sword)
-
열심히 해야지
-
예전에 소개팅 했을때 24
상대방 분이 삼수 하셨대서 삼수 선에서 잘 정리 하셨네요 이 드립쳤는데 나중에...
오.....
저걸 처음 생각해낸 사람은 도대체 뭘까
재밌는 성질 감사합니다