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저능부엉이 [1324938] · MS 2024 (수정됨) · 쪽지

2025-01-23 19:43:40
조회수 1,796

[수학칼럼] 등차수열 정복하기

게시글 주소: https://snu.orbi.kr/00071505271

안녕하세요 수학을 가르치고싶은 저능부엉이입니다


등차수열의 개념은 상당히 간단하지만

생각보다 현장에서 당황하게 할 수 있는 문제가

언제든지 출제될 수 있는 파트입니다


그렇기 때문에 오늘은 등차수열 문제에서는

어떻게 접근해야 하는지를 설명해보도록 하겠습니다



문제 접근시 섣부르게 a_n=a+(n-1)d 로 변형하지 마라!


a_n에 대한 공식은 항상 맨 나중에서야 사용해야 합니다.

답을 도출해야 하는 경우나 문제가 너무 풀리지 않을경우에

마지막의 보루로 사용해야 하는 공식입니다 그 이유는 

이 식이 문제의 수열을 이해하는데  그렇게 도움되지 않기 때문입니다. 비슷한 맥락에서 S_n공식도 왠만해서는 쓰지 않는 것이 좋습니다


등차수열의 핵심은 항과 항 사이의 관계이다


이 점을 반드시 기억해야 합니다


그렇기에 저는 다음의 3개를 먼저 생각하길 권합니다


1) 등차중항의 성질


2) 특정 항으로 다른 항을 표현하기


3) 모르면 직접 한번 나열해보기



한번 실제 기출과 함께 자세히 설명해보도록 하겠습니다



240612 입니다. 현장에서 12번 치고 어려워서

의외로 발목잡혔던 사람이 많았던 문제로 기억합니다


앞에서 말했듯이 특정 항으로 다른 항을 표현해봅시다


a_2=-4 를 알고 있기에 다른 항은 -4에 공차를 더한 형태로 표현 가능하군요


이외에는 잘 모르기에 한번 나열해보도록 하죠




그런방식으로 A와 B의 내용물을 일단 나열해봤습니다


나열하니 여기서 b_n이 공차가 2d인게 바로 보이군요

이렇게되면 문제조건을 만족하는

케이스를 바로 알수있습니다


a_20을 구할때도 우리는 a_2의 값을 알고 있기에

굳이 a_n=a+(n-1)d를 쓰지 않고

a_2에다 공차를 18번 더한 걸로 구할 수 있습니다


이렇듯 문제사항을 한번에 바로 알아볼 수 없을경우는

a_n을 직접 나열해봐서

규칙성이나 기타성질을 판단해보는 것도 나은 선택이 될 수 있습니다



24수능 11번입니다


먼저 |a_6|=a_8

이기에 우리는 a_7=0임을 알 수 있습니다

그리고 옆에 시그마를 풀어봅시다


여기서 중요한건 a_1과 a_6을 a_7과 공차로 표현하는것입니다. 마지막으로 시그마 a_n 15를 등차중항의 성질을 써서

15×a_8로 표현하고 a_8=4, 

따라서 답은 60으로 내면 끝입니다


이 문제는 비록 쉬운 난이도였지만 a_1과 a_6을 

이미 알고있던 a_7을 중심으로 나타내고


마지막에서 시그마 값을 등차중항의 성질을 이용하여

일반항×자연수의 형태로 표현해서 공식없이

빨리 답을 낼수 있기에 선정해보았습니다




다음은 23년도 7월 학평 12번 입니다


(가) 조건 해석은 얼핏 봐서는 복잡해보입니다


하지만 알다시피 등차중항의 성질을 쓰면

(가)조건이 a_m+1<0 임을 알려준다는 것을 알 수 있습니다



그럼 이제 (나)조건을 어떻게 풀지가 관건입니다


이때 우리는 a_m+1을 중심으로 식을 세워봅시다



이렇게 a_m+1을 기준점으로 두면

a_m+1의 수치가 좁혀지고

24<a_21<29의 조건을 쓰면

t=-2임이 바로 밝혀집니다


이문제에서 주의해야 할 포인트는 다음과 같습니다


1.등차중앙의 성질을 통해 a_m+1<0임을 알아내야했고


2.a_m+1을 중심으로 분석하여 a_m+1의 값을 특정해야함



이상으로 3문항을 풀어봤습니다 

제가 앞의 3문제를 풀며 보였듯이

저는 a_n=a+(n-1)d의 공식을 절대 쓰지 않았습니다


대부분의 등차수열 문제는 굳이 사용하지 않는것이

더 좋은 풀이가 되기 때문입니다


제 글을 다 읽으셨다면 알 수 있듯이

앞에 제가 말한 3개중에서도


특정항을 기준으로 다른 항을 표현 


이건 진짜 등차수열에서 매우매우 중요한 부분이며


제가 가장 강조하고 싶은 부분입니다


결론적으로 다시 설명하지면


앞에서의 3개를 집중적으로 써야합니다


1.복잡한 계산은 등차중항의 성질로 풀어내기

2.특정항을 기준으로 다른 항을 표현

3.문제 상황에 감이 안잡힐때는 한번 나열해보기


이런 원칙으로 문제를 푼다면 대부분의 등차수열 문제는

한번에 바로 풀릴 수 있을것입니다


읽어주셔서 감사합니다

다음에도 좋은 칼럼으로 찾아뵈겠습니다



[수학칼럼] 정보의 용도 파악

 https://orbi.kr/00071112142

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저능부엉이 [1324938]

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